Решение системы нелинейных уравнений методом простых итераций

ВВЕДЕНИЕ

Очень часто в различных областях приходится встречаться с математическими задачами, для которых не удаётся найти решения классическими методами или решения выражены громоздкими формулами, которые не приемлемы для практического использования. Поэтому большое значение приобретают численные методы. В большинстве случаев они являются приближёнными, так как с их помощью обычно решаются задачи, аппроксимирующие исходные. В ряде случаев численный метод строится на базе бесконечного процесса, который в пределе сводится к искомому решению. Однако реально предельный переход не удаётся осуществить, и процесс, прерванный на некотором шаге, даёт приближённое значение. Кроме того, источниками погрешности являются несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению и погрешность исходных данных.
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений – одна из сложных и до конца нерешённых задач. Большинство методов решения таких систем сводится к решению, если начальное приближение достаточно близко к нему, и могут вообще не давать решений при произвольном выборе начального приближения. Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависит от свойств уравнений, то есть от свойств матрицы системы и от выбора начальных приближений.
Численный метод, в котором производится последовательное, шаг за шагом, уточнение первоначального грубого приближения, называется итерационным.
В данной курсовой работе рассматривается метод простой итерации для решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

 
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДЕ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Любую нелинейную систему n уравнений с n неизвестными можно записать в виде


(1)

где - некоторые функции переменных . Вектор неизвестных обозначим . Назовем невязками системы на векторе . Очевидно, если - решение, то


(2)

для всех .
Итеративный процесс нахождения сводится к тому, что ищется такая последовательность что каждое лучше . Как правило, решение заканчивается тогда, и только тогда, когда находим такое , при котором

,
(3)

где - заданная точность. Полученное значение считается приближенным решением системы (1).



2. АЛГОРИТМ МЕТОДА ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

1. Задается точность вычислений (обычно или )
2. Записывается система в нормализированном виде:

, где
(4)

, .
Выбирается начальное приближение
В случае двух-трёх неизвестных целесообразно сделать это из геометрических соображений.
3. Вводится переменная , которая нумерует приближения.
Первоначально она равна нулю.
4. Записывается формула итерационного процесса в виде


(5)

5. Вычисляется - е приближение по формуле (5)
6. Полученное приближение сравнивается с предыдущим:


(6)

При подсчёте вручную, например, с точностью до 4, это условие сводится к проверке совпадения всех приближений с точностью до единицы в четвёртом разряде. Если условие выполнено, то решение считается найденным на -м шаге и итеративный процесс закончен, в противном случае